Bước vào khoa Toán các trường đại học và cả trung học, rất có thể quý vị sẽ thấy các bích chương in tranh của họa sĩ M.C. Escher người Hoà Lan. Thí dụ như bức dưới đây.
Không chỉ những hình ảnh này được xây dựng trên một số cấu trúc hình học quen thuộc mà thôi; có cái gì đó trong sự biến đổi có đối xứng mà dân Toán đặc biệt bị lôi cuốn. Trong hình học, có hẳn chuyên ngành về các cấu trúc mà khi lập lại bao trùm hết một bề mặt, mang tên là tessellation, có thể gọi đơn giản là tiling hay lát gạch.
Bò sát, tranh M.C. Escher, 1943.
Tháng trước, khi tôi dạy đến bài này, một sinh viên đã mừng rỡ thốt lên, “Cuối cùng thì những ngày cùng mẹ tôi lát gạch sàn nhà đã được áp dụng để ăn điểm trong trường!” Nghề thợ hồ cũng có lợi năm bảy đường.
Một đặc điểm của việc lát gạch là có những hình lát được lên mặt phẳng nhưng không lát được trên mặt cong. Thí dụ như lục giác có thể lát mặt phẳng dễ dàng (tổ ong) nhưng không lát được mặt quả cầu. Một thí dụ quen thuộc là trái banh bóng đá. Trái banh bóng đó có 20 hình lục giác nhưng khi ghép lại thì cái lỗ ở giữa lại hình ngũ giác 5 cạnh, nếu không sẽ lồi lõm không thành hình cầu. Nói cách khác, nó là hình khối 20 mặt (icosahedron) mà góc cạnh được gọt bớt đi cho tròn.
Trái banh bóng đá tương đương với hình 20 mặt trắng với góc cạnh được gọt bớt đi bằng hình ngũ giác. (Hình: Dysfunctional/Wikimedia/PD)
Hình đơn giản nhất mà có thể vừa lát đầy mặt phẳng vừa lát đầy hình cầu, là hình tam giác. Trong xây dựng, người ta dùng tam giác để xây nhà hình cầu, gồm nhiều hình tam giác ghép lại, gọi là geodesic dome. Spaceship Earth ở Disney World, Florida, là một thí dụ.
Spaceship Earth tại Disney World. (Hình: Katie Rommel-Esham/Wikimedia/CC BY-SA 3.0 us)
Geodesic dome có nhiều điểm lợi về cấu trúc. Hình cầu có thể tích lớn nhất cho cùng một diện tích. Nói cách khác, cũng với thể tích đó, hình cầu đỡ tốn diện tích nhất. Hình tam giác tự nó có cấu trúc bền. Các loại hình khác, phải giữ cho nó bền, thí dụ hình vuông có thể bị lệch nhưng tam giác thì không. Và chỉ cần một hình tam giác, cứ nhân lên ghép lại là có hình cầu, không cần phải chế ra hai ba loại tam giác.
Và đó là điều hai nhà khoa học Donald Caspar (1927 - ) và Aaron Klug (1926 - 2018, Nobel Hóa học 1982) nghĩ ra vào năm 1962, khi nghiên cứu cấu trúc của virus. Trước đó, Watson và Crick, hai tên tuổi sinh vật học gắn liền với DNA và RNA, đã kết luận rằng hình con virus phải hoặc là hình dodecahedron 12 mặt hoặc là hình icosahedron 20 mặt.
Vấn đề là con virus không những cực kỳ nhỏ, mà còn có rất ít thứ trong đó. Như tôi có nói trong một bài trước, lớp sinh vật dạy tế bào có gì, coi như virus không có cái đó. Nếu bỏ qua chi tiết, có thể nói hầu hết virus coi như chỉ có lớp vỏ bọc bên ngoài bằng protein gọi là capsid và mã di truyền ở trong. Mã di truyền này có thể là DNA hay RNA.
Hai ông Caspar và Klug nhận xét rằng mỗi lần sinh sản, con virus phải tự tái tạo bằng cơ chế của tế bào mà nó xâm nhập. Tất cả các thông tin để tự tái tạo phải nằm trong đoạn mã di truyền DNA hay RNA. Mà đoạn mã di truyền của con virus thì nhỏ xíu, không thể chứa nhiều thông tin. Suy ra capsid của virus phải có diện tích nhỏ chứa một thể tích to, và mỗi protein trên đó , như viên gạch lát sàn, phải cực kỳ đơn giản để thông tin về nó có thể vừa trong khúc mã di truyền ngắn.
Và hai ông nhìn thấy cấu trúc hình cầu geodesic dome và loé lên suy nghĩ: Con virus hình cầu và bề mặt của nó hình tam giác. Qua thí nghiệm với khúc xạ tia X, hai ông đã biết nó hình 20 mặt thay vì 12 mặt.
Và để cấu trúc này thích hợp cho các con virus to nhỏ khác nhau, Caspar và Krug lý giải cấu trúc virus như vầy.
Giả sử mình lát một mặt phẳng bằng hình lục giác. Vẽ 20 hình tam giác đều như trong hình dưới đây và xếp lại, sẽ ra một hình rất gần với hình cầu.
Xếp tam giác từ mặt phẳng thành hình cầu. (Hình: The Viral Zone, viralzone.expasy.org)
Hình trên đây có tam giác nhỏ nhất vì chỉ đi từ tâm hình lục giác này tới hình lục giác bên cạnh. Một con virus nhỏ sẽ có cấu trúc như vậy. Con virus lớn hơn sẽ có tam giác lớn hơn, đi từ tâm hình lục giác này tới tâm một hình lục giác xa hơn. Kích thước lớn nhỏ của virus được đo bằng chỉ số tam giác (triangular number) T, và T không chỉ đo kích thước mà còn phản ảnh cấu trúc protein bên trong mỗi bề mặt của hình 20 mặt. T nhỏ thì bề mặt protein đơn giản, T lớn thì bề mặt protein phức tạp hơn. Bên dưới là hình với chỉ số T=7.
Cấu trúc với T=7 có tam giác lớn hơn. (Hình: The Viral Zone, viralzone.expasy.org)
Rồi, bây giờ nhìn kỹ lại các hình lục giác trong hình trên. Khi gấp 20 hình tam giác lại, để ý thấy mỗi góc tam giác đều bỏ bớt một góc của lục giác, mới gấp được thành hình cầu. Mỗi lục giác hình xanh dương đều thiếu góc.
Aha! Đó chính là hình ngũ giác đen trên trái banh bóng đá. Bên trong mỗi mặt tam giác có thể là hình lục giác nhưng ở góc vẫn phải là hình ngũ giác mới bao bọc được hình cầu.
Con rhinovirus gây bệnh cảm, con dengue virus gây bệnh sốt xuất huyết, con virus gây bệnh lở mồm long móng, đều có cấu trúc như Caspar và Klug tiên đoán.
Tuy nhiên, từ sau thời Caspar-Klug, người ta phát hiện thêm nhiều cấu trúc khác của virus, nhất là đối với các con virus thật lớn, không có nhu cầu phải tối ưu hoá tất cả. Con coronavirus là một thí dụ. Coronavirus to đùng và được bao bọc bởi lớp màng mỡ lipid chôm từ cơ thể của người (hay thú) bị nhiễm, nên không theo cấu trúc kiểu Caspar-Klug. Bên trong vỏ bọc hình cầu như mình hay thấy, RNA lượn vòng hình xoắn ốc, cũng để đỡ tốn chỗ nhất.
Nghề thợ hồ và bóng đá có thể có trên virus các bệnh ngặt nghèo khác, nhưng với Covid-19 thì không.