(TL;DR. Bài này dài, nếu quý vị không thích đọc thì có thể coi hình, coi video.)
Cái này không phải nói chơi mà là thiệt. Chính hai nhà toán học đó nói, họ chúi đầu vào bài toán này vì cần phải giữ tinh thần trong lúc bị cách ly Covid.
Trong thời đại tân tiến, người ta có thể hợp tác làm việc mà không cần phải có mặt cùng một chỗ. Hai nhà toán học này là Joshua Greene, đại học Boston College ở Mỹ, và Andrew Lobb, thuộc hai đại học University of Durham ở Anh và Okinawa Institute of Science and Technology ở Nhật. Như hầu hết mọi người trong thời Covid, họ làm việc với nhau qua Zoom.
Bài toán hai ông giải là bài toán Hình Chữ nhật Nội tiếp. Bài toán này có gốc từ bài toán Hình Vuông Nội tiếp, hay còn gọi là giả thuyết Toeplitz, do nhà toán học Đức Otto Toeplitz đặt ra năm 1911, như sau.
* Trên bất kỳ một đường cong khép kín trên mặt phẳng, không bắt chéo, luôn luôn có một điểm là bốn góc của hình vuông.
Một hình vuông có thể được xem là hình chữ nhật với tỷ lệ dài : rộng = 1 : 1. Môt dạng khó hơn của giả thuyết Toeplitz là bài toán Hình Chữ nhật Nội tiếp:
* Cho trước bất kỳ một tỷ lệ dài : rộng nào đó, trên bất kỳ một đường cong khép kín trên mặt phẳng, không bắt chéo, luôn luôn có một điểm là bốn góc của một hình chữ nhật với tỷ lệ đó.
Đường cong khép kín là một đường bắt đầu ở đâu thì quay lại điểm đó, không để hở miệng. Thí dụ như trong hình vòng vèo này với nhiều đỉnh hình vuông trong đó.
(Hình: Claudio Rocchini/Wikimedia/CC BY-SA 3.0)
Hoặc là trong hình này, có tên là hình bông tuyết Koch (Koch snowflake), là một hình “fractal” với số góc cạnh lên tới bất tận.
(Hình: Vũ Quí Hạo Nhiên trên nền Wrtlprnft/Wikimedia/PD)
Năm 1929, nhà toán học Lev Schnirleman ở Liên Xô chứng minh giả thuyết hình vuông cho tất cả đường không có góc cạnh. Rồi bài toán nằm yên, chỉ nhúc nhích chút ít đây đó trong mấy chục năm.
Một bước tiến lớn diễn ra năm 1981, Giáo sư Herbert Vaughn đại học Illinois chứng minh được là tất cả các đường, kể cả đường có góc cạnh, đều có bốn điểm lập thành hình chữ nhật.
Vaughn có hai sáng kiến lớn. Sáng kiến thứ nhất là tìm ra một cách mới để nhận biết một hình chữ nhật.
Bình thường, để nhận ra một hình chữ nhật, phải biết bốn đỉnh ABCD của nó ở đâu, đo 4 góc ở 4 đỉnh xem có phải góc vuông 90 độ hay không. Phải làm hết chừng nấy chuyện mới biết có phải hình chữ nhật hay không.
Quá nhiêu khê. Sáng kiến của Vaughn là thay vì nhìn 4 góc thì nhìn 2 đường chéo. Hai đường chéo hình chữ nhật có chiều dài bằng nhau, và có chung một điểm giữa. Chỉ cần hai điều kiện đó thôi là biết có một hình chữ nhật.
Hình bình hành chẳng hạn, hai đường chéo có chung điểm giữa nhưng chiều dài không bằng nhau. Trong hình con diều, hai đường chéo có thể tình cờ dài bằng nhau, nhưng không có chung điểm giữa. Chỉ có hình chữ nhật có đủ hai yếu tố đó.
(Hình: Vũ Quí Hạo Nhiên)
Sáng kiến này có nghĩa mình chỉ cần lấy một đoạn thẳng, hỏi chiều dài bao nhiêu và điểm giữa ở đâu. Tức là chỉ cần biết một con số và một toạ độ. Lấy một đoạn khác, hỏi chiều dài bao nhiêu và điểm giữa ở đâu. Nếu cả hai câu trả lời giống nhau, mình có hình chữ nhật. Xong!
Sáng kiến thứ nhì của Vaughn là cứ mỗi đoạn nối liền hai điểm A, C, ông biểu hiện cả chiều dài của đoạn AC lẫn toạ độ điểm giữa của nó, bằng một điểm F trong không gian 3 chiều. Nói cách khác, mỗi điểm F trong không gian đại diện cho cả chiều dài lẫn toạ độ điểm giữa của một đoạn AC nào đó.
Nếu trong không gian này có hai điểm F trùng nhau, điều đó có nghĩa có hai đoạn thẳng có cùng chiều dài và điểm giữa. Tức là mình có một hình chữ nhật.
Với cách biểu hiện này, Vaughn chứng minh được là các điểm F đại diện cho tất cả các cặp AC trên đường cong tạo thành một hình Möbius strip, tiếng Việt gọi là “dải Mobius.”
Một dải Mobius được tạo ra bằng cách lấy một dải giấy dán hai đầu vào nhau, nhưng thay vì dán bình thường thì xoắn nửa vòng trước khi dán.
Dải Mobius và cái bóng 2 chiều của nó. (Hình: Vũ Quí Hạo Nhiên)
Dải Mobius có những tính chất rất đặc biệt. Tuy dải giấy lúc đầu có hai mặt, nhưng sau khi xoắn rồi dán hai đầu, nó chỉ còn một mặt. Hai con kiến nằm hai bên dải Mobius tưởng chừng như nằm trong hai mặt khác nhau nhưng thực ra cùng một mặt. Nếu cắt dải Mobius theo chiều dọc, nó không rớt thành hai miếng, mà lại mở ra thành một dải dài hơn. Cắt thêm một lần nữa nó sẽ bung ra thành hai vòng móc vào nhau. Xem video.
Thế thì Vaughn chứng minh rằng các cặp điểm AC trên đường cong trên mặt phẳng, khi biểu hiện bằng điểm F trong không gian 3 chiều, sẽ là một dải Mobius. Mà dải Mobius, do bị xoắn, nên khi chiếu xuống 2 chiều sẽ bắt buộc phải có hai điểm F nào đó trùng với nhau.
Mà hai điểm F trùng nhau có nghĩa là có hai đoạn cùng chiều dài và cùng điểm giữa. Vậy chúng là đường chéo của hình chữ nhật.
Thành công!
Với thành tựu của Vaughn, tới năm 1981 bài toán Toeplitz đã tiến tới hai kết quả sau đây.
(1) Nếu không đòi hỏi đường cong bất kỳ, mà chỉ giới hạn ở đường cong không có góc cạnh, Lev Schnirleman đã chứng minh luôn luôn có hình vuông nội tiếp, nhưng chưa chứng minh được cho hình chữ nhật với tỷ lệ cho trước.
(2) Nếu chấp nhận đường cong bất kỳ kể cả đường có góc cạnh, Herbert Vaughn đã chứng minh được luôn luôn có hình chữ nhật nào đó nhưng không bảo đảm được tỷ lệ dài : rộng cho trước.
Lại bẵng đi mấy chục năm cho tới khi có dịch Covid-19. Mọi người bị cách ly, phải ở nhà.
Đến lúc đó, theo lời Giáo sư Greene nói với tạp chí Quanta, “Tôi thấy trận đại dịch nó gần như có tính thúc đẩy. Cả hai chúng tôi quyết định là phải hợp tác với nhau để giữ vững tinh thần.”
Họ bắt đầu họp qua Zoom hàng tuần, Greene ở Mỹ và Lobb ở Nhật. Mỗi lần họp họ lại có thêm sáng kiến nào đó,
Họ áp dụng sáng kiến của Cole Hugelmeyer, một sinh viên tiến sĩ đại học Princeton, là đẩy phương pháp của Vaughn lên không gian 4 chiều. Thay vì vẽ các điểm F trong không gian 3 chiều, F đại điện cho chiều dài của AB và vị trí điểm giữa, Hugelmeyer gài thêm một con số nữa là góc của đường AB với trục ngang (trục x).
Trong không gian 4 chiều này, nếu chỉ giới hạn ở các đường cong không góc cạnh, các điểm F tạo thành một Klein bottle, tiếng Việt là chai Klein hay bình Klein.
Bình Klein là một cấu trúc 4 chiều. Nếu nhìn với con mắt 3 chiều, mình như thầy bói sờ voi vì mình nhìn thiếu mất một chiều. Trong 4 chiều, bình Klein không tự cắt, nhưng khi chỉ nhìn được 3 chiều thì nó như thế này.
Video của đại học Hannover, Đức.
Một bình Klein bằng thủy tinh. (Hình: Maksim, Clifford Stoll/Wikimedia/CC BY-SA 3.0)
Trong không gian 4 chiều bình Klein không tự cắt, nhưng cái “bóng” 3 chiều của nó có chỗ tự cắt và chui qua lỗ như trong chai thủy tinh trong hình. Giống như đường vượt xa lộ không cắt nhau, đường này bên trên đường kia trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng trên mặt đất 2 chiều sẽ cắt nhau.
Khi xẻ một bình Klein ra, nó thành một dải Mobius. Bình Klein nhìn tưởng khép kín nhưng thật ra không có mặt trong mặt ngoài. Bò mặt trong một hồi, ra ngoài lúc nào không biết. Hai mặt cùng là một mặt.
Sử dụng bình Klein này, Greene và Lobb khiến các đường chéo AC theo cách của Vaughn có thể đại diện bằng hai dải Mobius, và họ chứng minh được rằng hai dải này luôn luôn giao nhau ở chỗ tương đương với tỷ lệ dài : rộng bất kỳ. Muốn có hình vuông tỷ lệ 1:1, sẽ có. Muốn có tỷ lệ 9:16, có luôn. Muốn tỷ lệ nào là có cái đó.
Greene và Lobb đã mở rộng kết quả của Vaughn cho tỷ lệ dài : rộng bất kỳ, nhưng chỉ giới hạn trong các đường cong không góc cạnh. Họ đã đẩy tiến bộ của bài toán Hình Chữ nhật Nội tiếp lên bước thứ 3.
(3) Nếu chỉ giới hạn ở đường cong không có góc cạnh, Greene và Lobb đã chứng minh được luôn luôn có hình chữ nhật theo đúng tỷ lệ dài : rộng cho trước.
Tất cả chỉ vì cách ly.