Kỳ trước tôi kể về Tổng thống tương lai James Garfield làm Toán được đăng tạp chí chuyên ngành.
Kỳ này tôi sẽ kể về Thomas Jefferson (1743-1826) làm Toán được Quốc hội phê chuẩn thành luật.
Jefferson thuộc hàng Quốc phụ (Founding Father) của Hoa Kỳ, là tác giả chính của bản Tuyên ngôn Độc lập. Trong thời gian Cách mạng Mỹ, ông làm đại sứ ở Pháp, xong đâu đấy ông về nước làm Ngoại trưởng đầu tiên dưới thời TT Washington. Hai người có những bất đồng về chính kiến nên tuy không ghét gì nhau nhưng lúc Washington qua đời Jefferson bỏ không tham dự tang lễ, dù lúc đó đang là Phó Tổng thống.
Năm 1796 Jefferson ra tranh cử Tổng thống và thua John Adams. Nhưng khi khối Đại cử tri biểu quyết thì có nhầm lẫn lúc bỏ phiếu nên ứng cử viên Phó TT của Adams bị rớt mà Jefferson được bầu vào ghế đó, trở thành Phó TT đối lập duy nhất trong lịch sử Hoa Kỳ. Trong vai trò đó, ông có cơ hội đi đêm với Pháp phá chính quyền Adams từ bên trong. Chỉ sau một nhiệm kỳ Adams bị thất cử và Jefferson đắc cử Tổng thống thứ 3 của Hoa Kỳ.
Bài toán mà Jefferson giải là bài toán apportionment, tạm dịch là chia phần, xảy ra trong những ngày đầu tiên của nước cộng hoà mới thành lập. Bài toán đó như sau.
Hạ Viện Hoa Kỳ thời đó có 105 ghế cho 15 bang. Theo Hiến Pháp, mỗi Dân biểu Liên bang đại diện ít nhất 30,000 người, trừ bang quá nhỏ sẽ vẫn được tối thiểu một ghế, và số ghế được chia cho các bang theo tỷ lệ dân số. Vậy làm sao để chia 105 ghế này?
Có thể trả lời, ừ thì chia theo tỷ lệ chứ sao, đã nói rồi mà.
À, vấn dề là chia theo tỷ lệ thì ra số lẻ. Vậy làm gì với những số lẻ đó?
Để lấy thí dụ nhỏ hơn, với những con số chẵn hơn, cho dễ thấy.
Giả sử có 3 bang A, B, C, và 20 ghế. Bang A có dân số 47,500, bang B 67,000, bang C 85,500. Tổng cộng dân số 200,000.
Vậy tính ra là cứ 10,000 dân được một ghế.
Do đó A được 4.75 ghế, B được 6.7 ghế, C được 8.55 ghế.
Tức A được 4 ghế + lẻ, B được 6 ghế + lẻ, C được 8 ghế + lẻ. Tổng cộng 18 ghế.
Làm gì với phần lẻ và 2 ghế dư? Nếu làm tròn số, mỗi bang được thêm 1 ghế thì tổng cộng 21 ghế, nhiều quá.
Giải quyết cách chia phần lẻ, chính là bài toán apportionment.
Bài toán này diễn ra trong bối cảnh chia ghế Hạ viện Mỹ, nhưng cũng có thể áp dụng cho các trường hợp khác như chia gia tài, phân bổ nhân sự, chia ca làm overtime.
Khi bài toán này được đưa ra, giải pháp đầu tiên được đề nghị là của Alexander Hamilton (1755? 1757? - 1804) cũng là một quốc phụ của Hoa Kỳ. Ông là người viết hầu hết các loạt bài sau này mang tên The Federalist Papers, là căn bản của Hiến Pháp Hoa Kỳ. Gần như không có năm nào mà án lệ của Tối cao Pháp viện Hoa Kỳ không trích dẫn The Federalist Papers. Thời TT Washington ông là Bộ trưởng Ngân khố đầu tiên của Hoa Kỳ. Sau này ông chết do đấu súng với Aaron Burr, Phó TT của Jefferson. Chân dung ông in trên tờ $10 của Mỹ.
Giải pháp của Hamilton khá đơn giản. Trong số ghế dư phần lẻ nào lớn hơn thì được trước. Theo phương pháp của Hamilton thì A và B có phần lẻ lớn hơn của C nên được 2 ghế dư.
Quốc hội thông qua phương pháp này, nhưng bị TT Washington phủ quyết. Jefferson bèn đưa ra giải đáp khác. Cách tính của Jefferson như sau.
Lấy tiếp thí dụ 200,000 dân, 20 ghế = 10,000 dân mỗi ghế
Nếu chia cho 10,000 và bỏ phần lẻ, thì chỉ có 18 dân biểu.
Vậy Jefferson nói, thì đừng chia cho 10,000 nữa! Chia cho số nào khác nhỏ hơn!
Giảm mẫu số dần cho tới khi số dân biểu vừa đúng 20. Giảm quá đà thì đi ngược lại. Đâu đó ở giữa sẽ có vừa đúng, ông nói vậy.
Phương pháp của Jefferson được Washington chấp thuận, Quốc hội thông qua, và áp dụng cho bầu cử Hạ viện từ 1792 tới 1842.
Vậy phương pháp của Jefferson với của Hamilton khác nhau như nào? Đây là số ghế Hạ viện cho 13 bang Hoa Kỳ trong kỳ bầu cử 1792. Kết quả hai phương pháp đều như nhau ngoại trừ hai bang Virginia và Delaware.
Có ngạc nhiên khi Virginia được lợi theo phương pháp của Jefferson? Jefferson là cựu thống đốc Virginia.
Nếu áp dụng phương pháp của Jefferson cho ba bang A, B, C ở trên thì sao? Cái này hay nè. Khi giảm mẫu số dần, tới 9550 thì B tăng lên 1 dân biểu, tổng cộng 19 dân biểu. Nhưng sau đó thì A và C tăng giống nhau, nên tới 9500, A B cùng tăng 1 dân biểu nên tổng số nhảy có một cái lên 21 chứ không thể nào có đúng 20 dân biểu.
Vậy có phải giải đáp của Hamilton đúng hơn không? Sau nửa thế kỷ sử dụng phương pháp của Jefferson, tới 1850 Quốc hội đổi luật, chuyển sang phương pháp của Hamilton. Tuy nhiên, năm 1880, khi sở Thống kê Dân số Hoa Kỳ chuẩn bị báo cáo cho bầu cử, họ phát hiện ra rằng nếu số ghế Hạ viện tăng từ 299 lên 300 ghế, thì theo phương pháp của Hamilton, số ghế của bang Alabama tự dưng rớt từ 8 xuống 7.
Thiệt là vô lý! Nếu tổng số ghế tăng, số ghế của một bang không tăng thì thôi chứ sao lại còn giảm?? Tình trạng này được đặt tên là “mâu thuẫn Alabama,” the Alabama paradox.
Để Alamba khỏi bị mất ghế, Quốc hội ấn định số ghế là 325, nhưng từ đó các nhà làm luật cũng thấy được điểm kém của phương pháp Hamilton. Tới năm 1900 phương pháp Hamilton bị bỏ, thay bằng phương pháp của Daniel Webster, rồi tới 1940 thay bằng phương pháp hiện tại, phương pháp Hill-Huntington.
Vậy phương pháp nào đúng?
Tùy định nghĩa thế nào là “đúng.”
Các nhà chính trị học đặt ra nhiều tiêu chuẩn cho một phương pháp apportionment “đúng” theo nghĩa là hợp lý và công bằng. Và họ đi tìm các phương pháp apportion mà có thể thoả mãn hết tất cả các tiêu chuẩn đó.
Tuy nhiên, năm 1983, hai nhà toán học Michel Balinski (École Polytechnique ở Pháp) và Peyton Young (University of Maryland, College Park) chứng minh rằng không có phương pháp nào có thể thoả mãn 3 tiêu chuẩn công bằng sau đây, đừng nói chi nhiều hơn.
(1) Phương pháp đó phải thoả mãn “quota criterion,” số ghế phải bằng tỷ lệ làm tròn lên hoặc tròn xuống. Nếu tính tỷ lệ một bang nào đó được 17.2 ghế chẳng hạn, phương pháp đó phải cho ra 17 hay 18 ghế, chứ không thể tụt xuống 16 ghế hay nhảy lên 19 ghế.
(2) Phương pháp đó không gây ra mâu thuẫn Alabama. Nếu tổng số ghế tăng thì ghế mỗi bang hoặc tăng hoặc không thay đổi, chứ không thể tụt xuống. Và ngược lại.
(3) Phương pháp đó không gây ra “mâu thuẫn dân số,” population paradox. Nếu dân số tăng, bang có dân số tăng nhanh hơn phải được chia ghế trước khi chia cho bang có dân số tăng chậm hơn.
Phương pháp Hamilton có thể vi phạm tiêu chuẩn (2) và (3). Phương pháp Hill-Huntington hiện dùng tại có thể vi phạm tiêu chuẩn (1). Phương pháp Jefferson có thể vi phạm tiêu chuẩn (1) một cách nặng nề, tức là nếu còn áp dụng phương pháp của Jefferson, gần như tất cả các cuộc bầu cử từ 1850 tới nay đều vi phạm tiêu chuẩn (1).
Nhưng không sao. Đã bảo là không có phương pháp nào hoàn hảo mà, nên đừng trách phương pháp Jefferson không hoàn hảo.
Phương pháp của Jefferson ở ngoài nước Mỹ được biết đến với tên gọi phương pháp d'Hondt. Nhiều nước châu Âu vẫn dùng phương pháp này, thí dụ như chia ghế hội đồng tỉnh ở Pháp.
Nước Pháp, rốt cuộc, vẫn có quan hệ tốt với Jefferson.
